東大受験生ですら三角関数の定義を押さえられていなかった話

(1)一般角θに対してsinθ, cosθの定義を述べよ。
(2)(1)で述べた定義にもとづき、一般角α, βに対して
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ
を証明せよ。

(1)原点を中心とする半径1の単位円周上の点P(x, y)に対して、x軸の正の向きから測った角度をθとした時に、x = cosθ, y = sinθと定義する。

(2)2つのベクトル$$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$$と、そのなす角γに対して、ベクトルの内積は以下のように定義された。$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {b}\right| cos γ$$

ここで、特に$$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$$が平面のベクトルで、$$\overrightarrow{a} = (p, q),\overrightarrow{b} = (r, s)$$であるときに、$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}= pr + qs$$であることを証明する。

上図より、余弦定理から$$cos γ = \frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}} {2OA\cdot OB}$$

$$ = \frac{\left| \overrightarrow {a}\right| ^{2}+\left| \overrightarrow {b}\right| ^{2}-AB^{2}} {2\left| \overrightarrow {a}\right| \cdot\left| \overrightarrow {b}\right| }$$

$$ = \frac{(p^{2} +q^{2})+(r^{2} +s^{2})-[(p^{2} – r^{2})+(q^{2} – s^{2})]} {2\left| \overrightarrow {a}\right| \cdot\left| \overrightarrow {b}\right| }$$

$$ = \frac{pr + qs} {2\left| \overrightarrow {a}\right| \cdot\left| \overrightarrow {b}\right| }$$

よって、$$\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {b}\right| cos γ = pr + qs$$となり、$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=pr+qs$$が示される。

A(cosα, sinα), B(cosβ, sinβ)で決まるA, Bについて、定義より、$$\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=\left| \overrightarrow {OA}\right| \left| \overrightarrow {OB}\right| cos(α-β)$$

$$=cos(α-β)$$である。

ただし、$$cos(α-β)=cos(β-α)$$であることに注意する。

また、前半で証明したことを用いて、以下のようになる。$$\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=cosαcosβ-sinαsinβ$$

これより、以下の(A)式を得る。

$$cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ…(A)$$

ここで、$$sin(-β)=-sinβ$$に注意して、式(A)においてβを-βに置き換えると、以下の示すべき式が得られる。

$$cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ$$

さらに、$$cos(90°-α)=sinα$$に注意して、式(A)においてαを90°-αで置き換えると、$$cos(90°-α – β) =cos(90°-α)cosβ – sin(90°-α)sinβ$$となり、以下の示すべき式が得られる。

$$sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ$$