東大受験生ですら三角関数の定義を押さえられていなかった話

煽るようなタイトルでごめんなさい。笑

みなさん、定義や公式は押さえられていますか?
かなり前ですが、それを試される問題が東京大学で出題されました。

具体的には以下ような三角関数の問題です。

1999年度 東京大学前期入試 文理共通問題

(1)一般角θに対してsinθ, cosθの定義を述べよ。
(2)(1)で述べた定義にもとづき、一般角α, βに対して
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ
を証明せよ。

(1)がサインとコサインの定義を述べる問題。
(2)が加法定理を証明する問題です。

いずれにしても教科書レベルの問題なのですが、(1)から解けない方も結構いたようです。
解答を見てもらえばわかる通り、(2)は若干苦労しそうだというのはわかるのですが、(1)についてはどこの大学を受ける方でも確実に正解しなければならない問題のはずです。それを東大受験生でできない方がいたというのが少し驚きですよね。
((1)について、三角形を用いた定義の説明が教科書などで定番ですが、それだと0°<θ<180°以外で三角関数を定義できないので不正解となります。)

ちなみに、解答はこんな感じになります。

解答

(1)原点を中心とする半径1の単位円周上の点P(x, y)に対して、x軸の正の向きから測った角度をθとした時に、x = cosθ, y = sinθと定義する。

三角関数の定義

(2)2つのベクトル$$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$$と、そのなす角γに対して、ベクトルの内積は以下のように定義された。$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {b}\right| cos γ$$

ここで、特に$$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$$が平面のベクトルで、$$\overrightarrow{a} = (p, q),\overrightarrow{b} = (r, s)$$であるときに、$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}= pr + qs$$であることを証明する。

余弦定理の説明の図

上図より、余弦定理から$$cos γ = \frac{OA^{2}+OB^{2}-AB^{2}} {2OA\cdot OB}$$

$$ = \frac{\left| \overrightarrow {a}\right| ^{2}+\left| \overrightarrow {b}\right| ^{2}-AB^{2}} {2\left| \overrightarrow {a}\right| \cdot\left| \overrightarrow {b}\right| }$$

$$ = \frac{(p^{2} +q^{2})+(r^{2} +s^{2})-[(p^{2} – r^{2})+(q^{2} – s^{2})]} {2\left| \overrightarrow {a}\right| \cdot\left| \overrightarrow {b}\right| }$$

$$ = \frac{pr + qs} {2\left| \overrightarrow {a}\right| \cdot\left| \overrightarrow {b}\right| }$$

よって、$$\left| \overrightarrow {a}\right| \left| \overrightarrow {b}\right| cos γ = pr + qs$$となり、$$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=pr+qs$$が示される。

A(cosα, sinα), B(cosβ, sinβ)で決まるA, Bについて、定義より、$$\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=\left| \overrightarrow {OA}\right| \left| \overrightarrow {OB}\right| cos(α-β)$$

$$=cos(α-β)$$である。

ただし、$$cos(α-β)=cos(β-α)$$であることに注意する。

また、前半で証明したことを用いて、以下のようになる。$$\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}=cosαcosβ-sinαsinβ$$

これより、以下の(A)式を得る。

$$cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ…(A)$$

ここで、$$sin(-β)=-sinβ$$に注意して、式(A)においてβを-βに置き換えると、以下の示すべき式が得られる。

$$cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ$$

さらに、$$cos(90°-α)=sinα$$に注意して、式(A)においてαを90°-αで置き換えると、$$cos(90°-α – β) =cos(90°-α)cosβ – sin(90°-α)sinβ$$となり、以下の示すべき式が得られる。

$$sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ$$

この三角関数の問題を見て、一度自分の数学の勉強を振り返ってみると良いかもしれませんね。

解法の習得ばかりに気がいってませんか?
定義は完璧に押さえられていますか?
公式は完璧に証明できますか?

定義や公式が曖昧だと、それらを誤って用いてしまったり、今回のようにそれ自体が問題として問われた際に正解することができません。

自分の勉強を見直すきっかけとなれば嬉しいです。

ハイレベル理系数学

【河合出版】ハイレベル理系数学をオススメする5つの理由【東大受験生必見!】

2018年8月1日
数学

【文系・理系】数学の勉強法まとめ【センター・二次・私大】

2018年7月28日

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)